光纤激光器中耗散纯四次孤子的脉动动力学
家视点最近，在正四阶色散驱动的锁模光纤激光器中发现了耗散纯四次孤子。然而，很少有人致力于研究耗散纯四次孤子的非线性动力学。在此，Wu等人理论研究了被动锁模光纤激光器中耗散纯四次孤子的脉动动力学。首先，研究人员观察到类似于负四阶色散主导的脉动行为，表现出耗散纯四次孤子主瓣和两侧基座之间的对称能量交换。通过进一步增加饱和能量，发现耗散纯四次孤子主瓣的能量可以完全转移到基座中，从而形成M形脉冲。M形脉冲的两个时间峰值之间的增益竞争导致前导峰值和尾随峰值交替产生和崩溃。由于耗散纯四次孤子的前导峰和尾随峰分别由低频和高频纵模构成，在这种情况下，由于中心波长的变化，耗散纯四次孤子脉动表现出蠕变行为。这些发现为光纤激光器中锁模孤子的脉动动力学提供新的见解，这也有利于进一步理解耗散纯四次孤子非线性行为。该工作发表在Optics Express上。
Zhong-Li Wu, Ze-Xian Zhang, Ti-Jian Li, Min Luo, Meng Liu, Ai-Ping Luo, Wen-Cheng Xu, and Zhi-Chao Luo, Pulsating dynamics of dissipative pure-quartic soliton in a fiber laser. Opt. Express 33(5): 10129-10139 (2025).
超快光纤激光器能够产生峰值功率高、光谱宽的超短脉冲，因其在天文学、流体力学和生物医学等许多科学领域的广泛应用而受到广泛关注。通常，超快光纤激光器产生的锁模脉冲可以称为光孤子，这主要取决于传播介质中群速度色散和自相位调制之间的平衡。事实上，超快光纤激光器是一种具有周期性增益和输出损耗的耗散光学系统。因此，在超快光纤激光器中产生的光孤子，即耗散光孤子，在某些条件下会表现出复杂的非线性行为，即孤子脉动、孤子爆炸、多孤子模式和类噪声脉冲。在之前的研究中，高阶色散通常被认为是一个有害因素，它会导致光孤子的失真/断裂以及能量损失。因此，光孤子的非线性动力学主要是在群速度色散管理条件下研究的，而高阶色散对孤子整形的影响却很少被研究。最近的进展表明，光孤子可以通过光子晶体波导中负四阶色散和克尔非线性之间的平衡来稳定，从而产生了纯四次孤子的新概念。纯四次孤子的出现为开发在纯四次孤子状态下运行的超快光纤激光器奠定了基础。研究发现，光纤激光器输出的锁模纯四次孤子的能量与反向脉冲持续时间的三次幂成正比。如果脉冲持续时间足够短，与传统孤子相比，这种特性使光纤激光器能够提供更宽光谱的更高峰值功率脉冲。
除了产生更高峰值功率的脉冲外，纯四次孤子光纤激光器也被证明是研究孤子非线性动力学的优秀平台。由于自相位调制和四阶色散引起的相移之间不完全平衡，可以观察到纯四次孤子的两侧都出现了振荡尾部。振荡尾提供了一种与纯四次孤子主瓣交换的动态能量流条件，导致与传统孤子不同的孤子脉动行为。事实上，孤子脉动是锁模光纤激光器中最有趣的非线性现象之一。当光孤子在脉动状态下工作时，它的振幅、形状、宽度会发生周期性变化并在激光腔内一次或多次往返后最终恢复到原始状态。此外，通过合理设计腔参数，可以获得峰值功率相对较高的光孤子的极端脉动，使脉动孤子具有重大的现实意义。迄今，研究人员发现了几种迷人的脉动孤子类型，如蠕变、爆发和平面脉动以及最近发现的隐形脉动。研究发现，在正四阶色散、克尔非线性、增益和损耗之间保持平衡的光纤激光器中可以形成稳定的锁模脉冲，也称为耗散纯四次孤子。与由正群速度色散主导的传统耗散孤子相比，耗散纯四次孤子在光纤激光器中表现出更高的能量提升能力。考虑到独特的正四阶色散驱动脉冲整形效应，研究光纤激光器中耗散纯四次孤子的脉动动力学将是有趣的。
图1显示了用于数值模拟的耗散纯四次孤子光纤激光器的示意图。激光腔包括泵浦源、波分复用器（WDM）、掺铒光纤（EDF）、单模光纤（SMF）、光谱脉冲整形器、可饱和吸收体（SA）和输出耦合器（OC）。为了分析光纤激光器中脉动耗散纯四次孤子的动力学并探索孤子脉动的物理机制，研究人员采用了复Ginzburg-Landau方程，包括自相位调制、群速度色散、四阶色散和有限带宽EDF的增益系数：这里，u是脉冲包络的缓慢变化幅度，而z和t分别是传播距离和传播时间。α表示光损耗，γ是非线性参数。β2、β4分别为群速度色散和四阶色散。对于EDF，Ωg表示增益系数和增益带宽。EDF的g可以描述为：其中，g0表示小信号增益系数。Epulse=∫|u(t)|2dt是脉冲能量。Esat表示饱和能量，也可以描述为泵浦强度。可饱和吸收体通过使用简化的传递函数进行建模：可饱和吸收体的调制深度和饱和功率可以分别用q0和Psat来描述|u(t)|2是脉冲的瞬时功率。光谱脉冲整形器施加在传播脉冲上的相位分布φ可以表示为：其中，L是腔长，ω表示角频率。
图1 用于模拟的耗散纯四次孤子光纤激光器图。
在数值模拟中，演变为耗散纯四次孤子的种子信号是一个相对较弱的脉冲，按照以下顺序在激光腔中传播：SMF1（1.1 m）→EDF（15 m）→SMF2（9.4 m）→光谱脉冲整形器→SMF3（1 m）→SA→SMF4（0.5 m）→OC→SMF5（0.5米）。腔总约为27.5米。对于SMF，β2=-21.58 ps2 km-1，γ=1.3 W-1 km-1。对于EDF，β2=21.2 ps2 km-1，γ=1.3 W-1 km-1，g0=0.3 dB m-1，Ωg=35 nm。对于可饱和吸收体，q0=0.9，Psat=100 W。对于OC，Rout=50%。腔的净群速度色散为0.048 ps2。值得注意的是，与光谱脉冲整形器应用的四阶色散相比，SMF和EDF的固有四阶色散非常小，因此在考虑净腔四阶色散时忽略了光纤的四阶色散。因此，为了充分补偿激光腔的群速度色散并提供足够的四阶色散以获得耗散纯四次孤子，光谱脉冲整形器中的色散量β2L和β4L分别设置为-0.048 ps2和0.55 ps4。在这里，研究人员在100 ps的时间窗口内采用N=214的采样点，以获得6 fs的时间分辨率。该分辨率确保了模拟中耗散纯四次孤子脉动动力学的准确性。
为了在激光器中获得稳定的耗散纯四次孤子，研究人员首先将Esat设置为250 pJ，以确保被动锁模的足够增益，如图2所示。图2(a)显示了耗散纯四次孤子的时间脉冲和啁啾。图2(b)描绘了用对数和线性尺度绘制的光谱。正如之前研究的那样，耗散纯四次孤子显示了时间基座、正啁啾和光谱边带的典型特征。由于正四阶色散和自相位调制的组合效应驱动的脉冲整形，低频/高频分量比耗散纯四次孤子的中心频率分量传播得更快/更慢。在这种情况下，可以观察到耗散纯四次孤子两侧的时间基座。事实上，基座与锁模脉冲的主瓣相位匹配。因此，它们可以沿着激光腔稳定地一起传输。然而，应该指出的是，这些基座本质上是不稳定的，易受到干扰。为了证明耗散纯四次孤子的稳定性，研究人员分别在图2(c)和2(d)中给出了1000圈的锁模脉冲的时间和光谱演化。图2(c)中的白色曲线描绘了耗散纯四次孤子的能量演化。可以看出，当脉冲在腔内传播时，脉冲能量和光谱分布几乎恒定，表明耗散纯四次孤子光纤激光器在稳定的状态下工作。
图2 锁模状态下光纤激光器的输出特性。（a）时间脉冲轮廓（浅蓝色曲线）和啁啾（橙色曲线）；（b）对数光谱（浅蓝色曲线）和线性标度光谱（橙色曲线）；耗散纯四次孤子的（c）脉冲和（d）光谱的演变。（c）插图：能量演化（白色曲线）。
然后，当Esat增加到290 pJ时，耗散纯四次孤子将获得更高的增益，从而表现出更高的峰值功率。更高的峰值功率反过来破坏了耗散纯四次孤子主瓣和时间基座之间的相位匹配关系，导致整个脉冲轮廓上的周期性能量再分配。在这种情况下，耗散纯四次孤子在脉动状态下运行，表现出周期性振荡，如图3(a)所示。也就是说，耗散纯四次孤子的主瓣和两侧基座之间的对称能量交换是周期性的。图3(a)和3(b)显示了1000圈以上脉动耗散纯四次孤子的时间和光谱演变。可以确定，耗散纯四次孤子的脉动周期约为32圈。为了进一步证明脉动过程中能量交换的演变，耗散纯四次孤子主瓣和基座的能量演变分别用红色和绿色曲线绘制在图3(a)的插图中。在这里，主瓣和基座之间的能量显示出反相演化，表明脉动耗散纯四次孤子的主瓣和底座之间确实发生了周期性的能量交换。为了更清楚起见，研究人员还提供了两个脉动周期的时间和光谱演变，如图3(c)和3(d)所示。可以清楚地看到，在一个脉动周期内，耗散纯四次孤子主瓣的能量首先转移到对称的基座上，然后两个基座的能量流回主瓣。
图3 对称脉动状态。（a）时间演化；（b）光谱演变。（a）插图：基座（绿色曲线）和主瓣（红色曲线）的能量演化；（c）时间和（d）两个周期的光谱剖面。
进一步探索耗散纯四次孤子的脉动动力学。随后，Esat被提升至294.5 pJ。在这种情况下，研究人员首先观察到主瓣和基座之间呈现准周期能量交换的传统脉动耗散纯四次孤子。值得注意的是，由于耗散纯四次孤子峰值功率的增加，准周期能量交换最终将被破坏并演变为另一种类型的脉动行为，如图4(a)所示。耗散纯四次孤子的能量演化也证明了这一行为，如图4(a)顶部所示。当研究新稳定的脉动的细节时，发现耗散纯四次孤子在这里以蠕变行为脉动。图4(b)绘制了3000圈以上耗散纯四次孤子的相应光谱演化，显示了与时间演化相同的演化趋势。值得注意的是，即使耗散纯四次孤子的演变增加到10000圈，具有蠕变行为的脉动仍保持稳定。研究发现，随着Esat的增加，非对称脉动出现得更早，脉动周期变短。这主要是因为更高的峰值功率加速了破坏对称脉动的过程，使不对称脉动更加剧烈。然而，当Esat超过297 pJ时，周期性蠕变脉动变得紊乱。
为了更好地描述具有蠕变行为的耗散纯四次孤子脉动动力学，研究人员首先分析了耗散纯四次孤子从传统脉动到脉冲蠕变的演变，即图4(a)中黄色矩形框的区域。图5(a)-5(c)分别显示了前、后基座和主瓣的能量演化趋势。在蠕变行为的过程中，可以看出，在1445圈之前，前导和尾随基座的能量演化呈现出相同的趋势。这一现象表明，耗散纯四次孤子仍经历着主瓣和基座之间的周期性能量交换。此外，图5(d)和5(e)分别显示了与四种典型圈相对应的耗散纯四次孤子的时间和光谱分布，这表明主瓣的能量对称地传递到前基座和后基座。然而，在1445圈之后，由于耗散纯四次孤子峰值功率增加的扰动，主瓣和基座之间的能量交换正在演变为不对称的能量交换。也就是说，现在领先和落后基座的能量并不相等。如图5(f)和5(g)所示，在这种情况下，时间和光谱剖面变得不对称。具体来说，耗散纯四次孤子主瓣的能量首先流入前基座，而后基座的能量则变得弱得多。随着耗散纯四次孤子的基座变得不对称，它改变了脉冲轮廓上的对称非线性相移，从而破坏了主瓣和基座之间的相位匹配关系。之后，前基座的能量转移到后基座，导致M形脉冲的产生以及1618圈的光谱轮廓。
图4 非对称脉动状态。（a）时间演化；（b）光谱演变。顶部（a）：能量演化（白色曲线）。图5 图4（a）中黄色矩形框的详细信息。（a）前基座、（b）后基座和（c）主瓣的能量；（d）（f）时间和（e），（g）（a）-（c）中对称区域A和不对称区域B的光谱分布。
从图4(a)可以看出，在M形脉冲形成后，耗散纯四次孤子呈脉动状，具有时间上的左右蠕变行为。图6(a)和6(b)分别显示了1140圈上脉冲蠕变的时间和光谱演变，这实际上由图4(a)中橙色椭圆框表示。事实上，蠕变行为伴随着前导峰和尾随峰的交替产生，这可以通过前导峰和拖尾峰的能量演化来识别，如图6(a)的插图所示。此外，具有蠕变行为的耗散纯四次孤子脉动周期约为230圈。为了更清楚地显示耗散纯四次孤子脉动的蠕变动力学，图6(c)和6(d)分别显示了1856圈、1863圈、1971圈、1979圈和2086圈一个脉动周期内的典型时间和光谱分布。这里，由于M形脉冲的两个峰值之间的增益竞争，强度较高的时间峰值在激光腔中的传播过程中将获得更多的增益。然而，随着时间峰值强度的不断增加，由于峰值功率箝位效应，它会发生脉冲崩溃。在这种情况下，较低强度的峰值能够再次获得更高的增益并逐渐增强其强度，直到脉冲崩溃。应该指出的是，前导峰和尾随峰的产生是交替的。因此，在这种状态下可以观察到脉冲蠕变行为。此外，通过在小范围内改变四阶色散量或Esat，在耗散纯四次孤子激光器中仍可以观察到具有蠕变行为的不对称脉动。
图6 图4(a)中用橙色椭圆形框标记的细节。（a）时间和（b）蠕变孤子的光谱演化。插图：M形脉冲前导峰（红色曲线）和尾随峰（绿色曲线）的能量演化；（c） 时间和（d）一个周期内不同圈的光谱分布。（e） 1618圈时的时间脉冲（浅蓝色曲线）和啁啾（橙色曲线）；（f） 时间滤波和（g）相应的滤波光谱。红色实线代表长波，蓝色虚线代表短波。
在所提出的光纤激光器中，四阶色散在影响孤子脉动动力学方面起着关键作用。对于负四阶色散驱动的纯四次孤子激光器，纯四次孤子的主瓣和振荡尾在脉动过程中交换能量。当聚焦于正四阶色散驱动的光纤激光器时，耗散纯四次孤子可以通过正四阶色散、自相位调制、增益和损耗之间的平衡来形成。研究发现，基座对称分布在稳定耗散纯四次孤子的两侧。这是由于正四阶色散和自相位调制驱动脉冲整形的组合效应，其中低频/高频分量比中心频率分量传播得更快/更慢，这与群速度色散驱动的耗散孤子不同。当基座和主脉冲满足群速度匹配条件时，它们可以在激光腔内稳定地传播在一起。事实上，耗散纯四次孤子的基座本质上是不稳定的，易受到干扰，导致基座和主脉冲之间的相位失配。这种不稳定性导致耗散纯四次孤子表现出复杂的脉动动力学，即脉冲蠕变行为。
在这里，通过合理的参数设置，研究人员首先观察到稳定的耗散纯四次孤子。然后，通过增加泵送来发现传统的脉动，其中基座保持对称并与耗散纯四次孤子的主瓣交换能量。这种行为与负四阶色散驱动的纯四次孤子中观察到的行为相似。然而，对增加泵浦功率的影响的进一步研究表明，可以获得具有蠕变行为的脉动耗散纯四次孤子。蠕变脉动的出现涉及具有对称基座的耗散纯四次孤子演变为M形脉冲，然后在M形脉冲的两个峰值之间进行增益竞争。此外，M形脉冲的时间滤波表明了典型的频率分布，其中前导峰对应于较低的频率分量，尾随峰对应于较高的频率分量。这表明M形脉冲不同于光纤激光器中孤子分子的情况。M形脉冲的两个时间峰值之间的频率分量的独立性以及两个时间峰的交替产生导致了具有蠕变行为的耗散纯四次孤子脉动的形成。
总之，研究人员理论研究了正四阶色散驱动光纤激光器中耗散纯四次孤子的脉动动力学。与传统的耗散孤子不同，耗散纯四次孤子由于正四阶色散和自相位调制的结合而形成了对称的基座。对称的基座和主瓣是相位匹配的，然后一起传输形成稳定的耗散纯四次孤子。随着泵功率的增加，发现了类似于纯四次孤子的周期性脉动，其中耗散纯四次孤子的主瓣与基座周期性地交换能量。当泵浦功率进一步增加时，由于主瓣和基座的相位失配，耗散纯四次孤子主瓣的能量能够完全流入基座，导致形成M形脉冲和频谱。M形脉冲的两个峰值之间的增益竞争导致前导和尾随峰值交替出现和崩溃。此外，通过时间滤波，M形脉冲的两个峰值的频率分量从低频到高频呈线性分布，因此两个时间峰值的交替出现导致脉动期间的蠕变行为。这些发现不仅提供了对耗散纯四次孤子脉动动力学的更深入了解，还有助于探索更多的非线性孤子动力学。
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